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Le tabelline

Per saper far di conto è indispensabile imparare a memoria le tabelline ovvero conoscere la tavola pitagorica. Tutti sappiamo che alcune tabelline sono più difficili da ricordare delle altre: ad esempio quella del 7.

Qui illustro un metodo rapido per calcolare, con le dita delle due mani, il prodotto di due numeri a scelta tra 6, 7, 8, 9, ossia di quei numeri dei quali di solito è più difficile ricordarsi il prodotto. L'unico prerequisito è che sia noto il prodotto di due numeri inferiori o uguali a 5.

Descrivo il procedimento attraverso due esempi. Mentre li leggete utilizzate le mani come descritto: vedrete che tutto è molto più semplice ed immediato di quanto sembri.

Primo esempio. Calcoliamo il prodotto 7 x 8 = 56. Con una mano apriamo tante dita quante sono le unità eccedenti il 5: due dita per il 7 (ad es., mano sinistra) e tre dita per l'8 (mano destra). Per ogni mano indichiamo con I le dita aperte e con n le dita chiuse. Schematicamente allora la situazione delle dita è la seguente:

mano sinistra: I I nnn
mano destra: I I I nn

La regola afferma che il risultato cercato si ottiene aggiungendo alle decine, che sono tante quante sono le dita aperte, il prodotto dei due numeri che rappresentano le dita chiuse di ogni mano. Quindi poiché le dita aperte sono 5 e quelle chiuse sono 3 e 2 il risultato vale

7 x 8 = (10 x 5) + (3 x 2) = 50 + 6 = 56

Secondo esempio. Calcoliamo il prodotto 6 x 7 = 42. Se la mano sinistra rappresenta il 6 e la destra il 7, aprendo un dito per il 6 e due dita per il 7 si ha:

mano sinistra: I nnnn
mano destra: I I nnn

Applicando la regola si trova

6 x 7 = (10 x 3) + (4 x 3) = 30 + 12 = 42

La regola mi è stata segnalata da una maestra di Carloforte (22-6-2005)

Dimostrazione della regola

Denotiamo i due numeri evidenziando la parte eccedente il 5. I due numeri sono allora

5 + x  e  5 + y

Dobbiamo calcolare (5 + x)(5 + y). Si ha

(5 + x)(5 + y) = 25 + 5(x + y) + xy

Il conto in accordo con la regola corrisponde alla formula

10(x + y) + (5 - x)(5 - y)

Svolgendo il conto si ottiene:

10(x + y) + (5 - x)(5 - y) = 10(x + y) + 25 - 5(x + y) + xy = 25 + 5(x + y) + xy

Questo risultato dimostra l'identità:

(5 + x)(5 + y) = 10(x + y) + (5 - x)(5 - y)

da cui segue subito la validità della regola enunciata.

Poiché quella trovata è un'identità, essa vale per ogni x e per ogni y, ma come è facile verificare si ottiene un risultato utilizzabile mediante le dita solo se x e y valgono 1, 2, 3, 4 ossia per i numeri 6, 7, 8, 9 come enunciato.

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